Su un foglio bianco, bastano pochi punti per imbattersi in uno dei problemi più complessi della geometria contemporanea. Si selezionano alcuni punti, li si colloca sul piano e si conta quante coppie si trovano esattamente alla stessa distanza, per esempio a distanza 1. Così formulato, sembra un esercizio da quaderno a quadretti. Tuttavia, si tratta di una questione che da quasi ottant’anni costringe i matematici a rivedere griglie, stime, costruzioni e intuizioni.
Recentemente, in questa storia è intervenuta OpenAI. L’azienda ha comunicato che un suo modello interno di ragionamento ha confutato una congettura relativa al problema delle distanze unitarie nel piano, proposto da Paul Erdős nel 1946. È importante interpretare questa notizia con precisione: l’intero problema rimane irrisolto. A cadere è una congettura di grande rilevanza riguardo alla velocità con cui può aumentare il numero massimo di coppie di punti alla stessa distanza. OpenAI afferma che il modello ha scoperto una nuova famiglia infinita di configurazioni in grado di superare ciò che per decenni era stato considerato il limite naturale delle costruzioni basate su griglie quadrate. La dimostrazione, secondo quanto riportato dall’azienda, è stata verificata da matematici esterni.
I puntini di Erdős
Paul Erdős era uno di quei matematici capaci di lasciare problemi ovunque, come briciole intelligenti. Alcuni semplici da raccontare, estremamente difficili da risolvere. Il problema delle distanze unitarie rientra in questa categoria: dato un insieme di n punti sul piano, quante coppie possono trovarsi esattamente a distanza 1?
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Una sequenza di punti offre una crescita quasi ovvia. Una griglia quadrata si comporta meglio. Per lungo tempo, l’idea predominante è stata questa: le griglie, o costruzioni molto simili, erano sostanzialmente il massimo raggiungibile. Erdős aveva ipotizzato che il numero massimo di coppie a distanza unitaria aumentasse solo leggermente più velocemente del numero di punti, con una formula tecnicamente indicata come n¹⁺ᵒ⁽¹⁾, dove quel piccolo termine in più tende a scomparire quando n diventa molto grande.
Il modello di OpenAI ha trovato un approccio differente. Per infiniti valori di n, la nuova costruzione genera almeno n¹⁺δ coppie a distanza 1, con δ maggiore di zero. Tradotto in termini più semplici: il numero di collegamenti possibili tra i punti cresce in modo più robusto di quanto suggerisse la congettura. La vecchia idea del “poco più che lineare” viene superata.
Qui entra in gioco la parte più affascinante, anche per chi della matematica avanzata conserva solo un ricordo traumatico delle superiori. La soluzione si avvale di strumenti molto distanti dall’immagine del foglio con i puntini. OpenAI menziona la teoria algebrica dei numeri, campi numerici, torri di classi e la teoria di Golod-Shafarevich. Materia tecnica, certo. Tuttavia, il concetto è piuttosto chiaro: per rispondere a una domanda geometrica molto concreta, il modello ha attinto a una zona profonda dell’algebra, dove si studiano estensioni degli interi e strutture numeriche molto più complesse dei numeri che utilizziamo quotidianamente.
La prova degli umani
La parte cruciale, per evitare il consueto circo da “l’AI ha risolto la matematica”, risiede nella verifica. Su arXiv è apparso un lavoro firmato da matematici di spicco, tra cui Noga Alon, Thomas F. Bloom, W. T. Gowers, Daniel Litt, Will Sawin, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang e Melanie Matchett Wood. Il documento presenta una versione sintetica, elaborata e verificata da esseri umani del controesempio generato da OpenAI. Gli autori chiariscono anche che l’argomento utilizza idee già presenti, almeno in retrospettiva, nei lavori di Ellenberg-Venkatesh, Golod-Shafarevich e Hajir-Maire-Ramakrishna.
Questo passaggio è di grande importanza. L’AI ha indicato una direzione, ha costruito una prova, ha collegato strumenti che molti matematici avrebbero potuto considerare marginali rispetto al problema. Successivamente, sono intervenuti gli esseri umani: hanno esaminato, verificato, semplificato e ricollocato la scoperta nel contesto della ricerca. La matematica funziona in questo modo. Una dimostrazione esiste quando resiste al controllo, quando altre menti possono attraversarla senza che un pezzo cada.
Nelle riflessioni pubblicate insieme al lavoro, emerge anche un aspetto quasi psicologico. Il modello avrebbe insistito molto nel tentativo di costruire un controesempio, mentre gran parte della comunità tendeva a ritenere vera la congettura. In altre parole, ha cercato una crepa dove molti avrebbero continuato a rinforzare il muro. Questo non rende l’AI una mente magica. Rende interessante il suo modo di esplorare spazi enormi di possibilità, anche quelli che un ricercatore umano può scartare rapidamente per esperienza, abitudine o buon senso.
Il problema resta vivo
Un altro matematico, Will Sawin, ha già elaborato un affinamento del risultato. Nel suo lavoro dimostra che esistono insiemi di n punti nel piano, con n arbitrariamente grande, che contengono più di n¹·⁰¹⁴ coppie di punti separate esattamente da distanza 1. Questo rende esplicito l’esponente positivo che nella prova originaria di OpenAI era presente senza un valore numerico specifico.
La corsa, però, continua. Il miglior limite superiore conosciuto rimane molto più elevato: in termini tecnici, dell’ordine di n⁴ᐟ³, secondo il risultato classico di Spencer, Szemerédi e Trotter. Tra il nuovo limite inferiore e quello superiore esiste uno spazio enorme, ricco di matematica ancora da esplorare.
La scoperta di OpenAI, quindi, è significativa per ciò che apre. Dimostra che una convinzione rimasta in piedi per decenni può essere messa in discussione da una costruzione inaspettata. Dimostra che un modello di intelligenza artificiale può contribuire alla ricerca teorica con qualcosa di più sostanzioso di un riassunto o di un supporto alla scrittura. E dimostra anche il contrario della narrazione più superficiale: senza matematici capaci di verificare, interpretare e migliorare il risultato, quella prova rimarrebbe una macchina accesa in una stanza chiusa.
Per ora resta l’immagine più semplice: punti su un foglio, linee invisibili tra coppie alla stessa distanza, una griglia che sembrava sufficiente e poi smette di esserlo. La matematica ogni tanto si comporta così. Sembra bloccata su una pagina da ottant’anni, poi qualcuno sposta un punto. Questa volta lo ha fatto una macchina. Gli esseri umani hanno controllato il disegno.
fonte: OpenAI